Giải bài 25 Nhị thức Newton

Hoạt động 1: Hãy xây dựng sơ đồ hình cây tích của hai nhị thức (a+b).(c+d) như sau:

• Từ một gốc tọa độ, vẽ các mũi tên, mỗi mũi tên ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức bậc nhất (H.8.6);
• Từ đầu của mỗi mũi tên đã dựng, vẽ các mũi tên, mỗi mũi tên ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai;
• Ở đầu các mũi tên được tạo ở bước cuối cùng, hãy ghi lại tích nhãn của các mũi tên đi từ điểm gốc đến điểm cuối đó.

Lấy tổng các tích thu được và so sánh kết quả với khai triển của tích (a+b).(c+d)

Hướng dẫn giải:

Tổng tích: ac + ad + bc + cd

Mở rộng sản phẩm (a+b).(c+d) = ac + ad + bc + cd

Vậy tổng các tích thu được bằng khai triển của tích (a+b).(c+d)

Hoạt động 2: Hãy chỉ ra các đơn thức còn thiếu (…) trong sơ đồ hình cây (H.8.7) của tích (a +b).(a +b).(a +b)

Có bao nhiêu sản phẩm thu được lần lượt bằng a³Một²b, ab²b³?

So sánh chúng với các hệ số thu được khi khai triển (a + b)³.

Hướng dẫn giải:

• Có 1 sản phẩm bằng một³có 3 sản phẩm bằng một²b, có 3 tích bằng ab²có 1 sản phẩm bằng b³.
• Mở rộng (a + b)³ = một³+ một²b + ab² + b³

$\Rightarrow$ Vậy hệ số của khai triển đúng bằng hệ số của tích thu được.

Hoạt động 3: Vẽ sơ đồ hình cây của khai triển (a + b).⁴ được mô tả trong hình 8.9. Sau khi khai triển ta được tổng là 2⁴ (theo quy tắc nhân) một đơn thức dạng xyzt, trong đó mỗi x, y, z, t là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, y, t là a và z là b thì ta có đơn thức aaba rút gọn thành a³b. Để có được đơn thức này thì trong 4 nhân tử x, y, z, t thì 1 là b, 3 nhân tử là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với ³b có tổng là $C_{4}^{1}$.

Cũng lập luận như trên, vận dụng kiến ​​thức về tổ hợp, hãy cho biết có bao nhiêu tổng trên đồng dạng với mỗi đơn thức rút gọn sau:

• Một⁴
• Một³b
• Một²b²
• ab³
• b⁴

Hướng dẫn giải:

• Để có được đơn thức a⁴ thì phải có 4 nhân tử a thì số đơn thức đồng dạng là: $C_{4}^{4}$ = 1 hay có 1 đơn thức a⁴.
• Để có được đơn thức a³b thì phải có 3 thừa số a, 1 thừa số b thì số đơn thức tương đương là: $C_{4}^{1}$ =4.
• Để có được đơn thức a²b² thì có 2 thừa số a, 2 thừa số b thì số đồng dạng là: $C_{4}^{2}$ = 6
• Để có được đơn thức ab³ thì có 1 thừa số a, 3 thừa số b thì đơn thức tương đương là: $C_{4}^{3}$ = 4.
• Để có được đơn thức b⁴ thì phải có 4 nhân tử b thì số các đơn thức đồng dạng là: $C_{4}^{4}$ = 1 hay có 1 đơn thức b⁴.

Bài tập 1: Mở rộng (x – 2)⁴.

Hướng dẫn giải:

(x – 2)⁴ = x⁴ + 4x^3.(-2) + 6x².(-2)² + 4x.(-2)³ + (-2)⁴ = x⁴ – 8x³ + 24x² +32x +16

Hoạt động 4: tương tự như 3 Hoạt độngsau khi mở rộng (a + b)⁵ta được tổng là 2⁵ đơn thức có dạng xyztu, trong đó mỗi kí hiệu x, y, z, t, u là a hoặc b. Ví dụ: nếu x, z là a và y, t, u là b, thì ta có đơn thức ababb, rút ​​gọn thành a²b³. Để được đơn thức này thì trong 5 nhân tử x, y, x, t, u có 3 nhân tử là b, 2 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với a²b³ tổng cộng là $C_{5}^{3}$.

Cũng lập luận như trên, vận dụng kiến ​​thức về tổ hợp, hãy cho biết có bao nhiêu đồng phân c ủa mỗi đơn thức thu gọn sau:

• Một⁵
• Một⁴b
• Một³b
• Một²b³
• ab⁴
• b⁵

Hướng dẫn giải:

• Để có được đơn thức a⁵ thì phải có 5 thừa số a thì số đơn thức đồng dạng là: $C_{5}^{5}$ = 1 hay có 1 đơn thức a⁵.
• Để có được đơn thức a⁴b thì phải có 4 ước a, 1 thừa số b thì số đơn thức đồng dạng là: $C_{5}^{1}$ = 5.
• Để có được đơn thức a³b² thì phải có 3 thừa số a, 2 thừa số b thì số đơn thức tương đương là: $C_{5}^{2}$ = 10.
• Để có được đơn thức a²b³ thì phải có 2 thừa số a, 3 thừa số b thì số đơn thức đồng dạng là: $C_{5}^{3}$ = 10.
• Để có được đơn thức ab⁴ thì phải có 1 thừa số a, 4 thừa số b thì số đơn thức tương đương là: $C_{5}^{4}$ = 5.
• Để có được đơn thức b⁵ thì phải có 5 nhân tử b thì đơn thức tương đương là: $C_{5}^{5}$ = 1.

Bài tập 2: Mở rộng (3x – 2)⁵

Hướng dẫn giải:

(3x – 2)⁵ = (3x)⁵ + 5(3x)⁴.(-2) + 10.(3x)³.(-2)² + 10.(3x)².(-2)³ + 5(3x).(-2)⁴ + (-2)⁵

= 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² +240x -32.

Vận dụng:

Một. Sử dụng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,05)⁴ để tính giá trị gần đúng của 1,05⁴.

b. Sử dụng máy tính để tính giá trị 1,05⁴ và tính sai số tuyệt đối của xấp xỉ thu được ở câu a.

Hướng dẫn giải:

Một. Mở rộng: (1 + 0,05)⁴ = 1⁴ + 4.1³0,05 + 6,1².0.05² + 4.1.0.05³ + 0,05⁴.

1,05⁴ $\khoảng $1⁴ + 4.1³.0,05 = 1,2

b. 1,05⁴ = 1,1025

Ta có: |1,1025 – 1,2| < 0,1

Sai số tuyệt đối là 0,1.