Giải bài 26 Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

1. SỰ KIỆN

Hoạt động 1: Quay trở lại Ví dụ 1, hãy xem xét hai sự kiện sau:

A: “Học sinh được gọi là bạn gái”‘;

B: “Học sinh có tên bắt đầu bằng chữ H được gọi”.

Liệt kê các kết quả thuận lợi cho các sự kiện A và B.

Hướng dẫn giải:

Một. Kết quả thuận lợi cho sự kiện A: {Huong; Hồng; Dũng}.

b. Kết quả thuận lợi cho sự kiện B: {Huong; Hồng; Nhà vua}.

Bài tập 1: Phần thưởng trong một chương trình khuyến mại của siêu thị là: tivi, bàn ghế, tủ lạnh, máy vi tính, bếp từ, bộ bát đĩa. Anh Dũng tham gia chương trình được chọn ngẫu nhiên một tiết mục.

Một. Mô tả không gian mẫu.

b. Gọi D là biến cố: “Anh Dũng chọn một đồ điện”. D là tập con nào của không gian mẫu?

Hướng dẫn giải:

Một. Không gian mẫu là tập hợp các phần thưởng trong chương trình khuyến mãi của siêu thị, $\Omega $ = {tivi; nội thất; tủ lạnh; máy tính; Bếp từ; bộ đồ ăn}

b. D là tập hợp các phần tử: D = {tivi; tủ lạnh; máy tính; Bếp từ}.

Hoạt động 2: Trở lại ví dụ 1, hãy cho biết sự kiện C: “Sinh viên được gọi là con trai” xảy ra khi nào?

Hướng dẫn giải:

Biến cố C xảy ra khi bạn được gọi là nam, tức là biến cố A không xảy ra.

Bài tập 2: Lắc xúc xắc. Gọi K là biến cố: “Số chấm trên mặt súc sắc là một số nguyên tố”.

Một. Biến cố: “Số chấm trên mặt xúc xắc là hợp số” có phải là biến cố $\overline{K}$ không?

b. Biến cố K và $\overline{K}$ là tập con nào của không gian mẫu?

Hướng dẫn giải:

Một. Biến cố: “Số chấm trên mặt xúc xắc là hợp số” không phải là biến cố $\overline{K}$, vì nếu K không xảy ra, tức là số chấm không phải là số nguyên tố, thì số chấm của mặt xúc xắc có thể là 1 hoặc hợp số. (số 1 không phải là số nguyên tố, không phải là hợp số).

b. Chúng ta có:

Sự kiện $\overline{K}$: “Số chấm trên mặt xúc xắc là 1 hoặc một hợp số”.

K = {2; 3; 5}

$\overline{K}$ = {1; 4; 6}.

2. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT

Hoạt động 3: Một hộp chứa 12 thẻ được đánh số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; số 8; 9; mười; 11; 12. Rút ngẫu nhiên một thẻ từ hộp đó.

Một. Mô tả không gian mẫu $\Omega $. Các kết quả có khả năng như nhau không?

b. Xét biến cố E: “Bốc được một quân bài có số nguyên tố”. Tập con nào của không gian mẫu là biến cố E?

c. Thử nghiệm có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra? Biến cố E có bao nhiêu kết quả thuận lợi? Từ đó tính xác suất của biến cố E.

Hướng dẫn giải:

Một. Không gian mẫu $\Omega $ = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; số 8; 9; mười; 11; thứ mười hai}.

Kết quả có thể sẽ giống nhau.

b. E = {2; 3; 5; 7; 11}

c. Phép thử có 12 kết quả có thể xảy ra.

Sự kiện E có năm kết quả thuận lợi.

Xác suất của sự kiện E là: $\frac{5}{12}$.

Câu hỏi: Từ định nghĩa cổ điển của xác suất, hãy chứng minh nhận định trên.

Hướng dẫn giải:

• Nhận xét 1: Với mỗi biến cố E, ta có $0\leq P(E)\leq 1$

Vì E là tập con của không gian mẫu, nên $n(E)\leq n(\Omega )$, suy ra $P(E)= \frac{n(E)}{n(\Omega )}\leq 1 $

Vì n(E) $\geq $0 nên $P(E)= \frac{n(E)}{n(\Omega )}\geq 0$.

Vậy $0\leq P(E)\leq 1$.

• Nhận xét 2: Đối với một số biến cố nhất định, ta có: $P(\Omega )=1$

Biến cố là chắc chắn nên $P(\Omega )=\frac{n(\Omega)}{n(\Omega )}= 1$

Vậy $P(\Omega )=1$

• Nhận xét 3: Đối với trường hợp không thể xảy ra, ta có $P(\oslash )$ = 0.

Sự kiện không thể xảy ra nên $n(\oslash )$ = 0, vì vậy: $P(\oslash )=\frac{n(\oslash)}{n(\Omega )}=0$

Vậy $P(\oslash )$ = 0.

Bài tập 3: Cuộn hai con xúc xắc phù hợp cùng một lúc. Tìm xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc là 4 hoặc 6.

Hướng dẫn giải:

• Vì mỗi con xúc xắc có thể xuất hiện 1 trên 6 nên số kết quả có thể xảy ra khi tung 2 con xúc xắc là: $n(\Omega )=6^{2}=36$.
• Biến cố E: ‘”Tổng số chấm trên hai con súc sắc là 4 hoặc 6″.

Tổng số chấm là 4 gồm các kết quả: (1; 3), (3; 1), (2; 2).

Tổng số chấm là 6 gồm các kết quả: (1; 5), (5; 1), (2; 4), (4; 2), (3; 3)

$\Rightarrow$ Biến cố E có 8 phần tử, hay n(E) = 8.

Vậy P(E) = $\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$.

3. NGUYÊN TẮC XÁC SUẤT NHỎ

Vận dụng: Xác suất của một sự kiện có ý nghĩa như sau:

Giả sử biến cố A có xác suất P(A). Khi phép thử được thực hiện n lần (n $\geq 30$), số lần xuất hiện của sự kiện A sẽ xấp xỉ bằng nP(A) (nói chung, n càng lớn thì sai số tương đối càng nhỏ).

Giả sử xác suất sinh con trai là 0,512 và xác suất sinh con gái là 0,488. Sử dụng ý nghĩa xác suất thực tế, hãy ước tính có bao nhiêu bé trai trong số trẻ sơ sinh có 10.000 bé gái.

Dạy. Gọi n là số trẻ sơ sinh. Chúng tôi coi mỗi lần sinh là một cuộc thử nghiệm, và biến cố gắn liền với cuộc thử nghiệm là biến cố: “Sinh con gái”. Vì vậy, chúng tôi có n thử nghiệm. Ước lượng n, từ đó ước lượng được số bạn nam.

Hướng dẫn giải:

Theo hướng dẫn: Gọi n là số trẻ em mới sinh.

• Biến cố A: “Sinh con gái”.

Với n lần thử thì số lần xuất hiện biến cố A theo đề bài là 10.000 bạn nữ. Áp dụng công thức với: nP(A) = 10 000

$\Rightarrow$ n $=100000:0,488\khoảng 20492$.

• Sự kiện B: “Sinh con trai”

Với n = 20 492, số lần xuất hiện của sự kiện B là: nP(B) = 20492. 0,512 $\approx $10492.

Vậy có khoảng 10 492 bé trai.